谁才是圆周率？π 和 τ 之间的战争

谁才是圆周率？π 和 τ 之间的战争

在数学中，半径的概念似乎比直径更加深入人心，因此人们经常会一时恍惚，就把圆周率误以为成周长与半径之比。其实圆周率π，那个以 3.14 打头的神秘的无限不循环小数，应该是圆的周长与直径之比。

虽说数学家们早已注意到了把圆周率定义为周长和直径之比所带来的的种种不爽，但第一次在论文中正式地提出这一点还是造成了不小的轰动。时至今日，互联网上的圆周率之争愈演愈烈，π 和 2π 之间正在上演一场没有硝烟的战争。

π 是错误的！

2001 年，美国数学家鲍勃·帕莱（Bob Palais） 语出惊人，在《数学情报》（The Mathematical Intelligencer）上发表了一篇题为《π 是错误的！》（π Is Wrong!）的论文。在论文的第一段，鲍勃·帕莱就说：“几个世纪以来，π 受到了无限的推崇和赞赏。数学家们歌颂 π 的伟大与神秘，把它当作数学界的象征；计算器和编程语言里也少不了 π 的身影；甚至有 一部电影 就直接以它命名⋯⋯但是，π 其实只是一个冒牌货，真正值得大家敬畏和赞赏的，其实应该是一个不幸被我们称作 2π 的数”。

如果人们真的把 2π 当作 π，把 6.28…… 作为圆周率，很多公式都可以变得更美妙。圆的周长公式将变成 πr ，圆的面积公式将变成 (1/2) πr ² ，这和其它图形的面积公式保持着某种不可言传的一致性。而 360 度转化为弧度将会正好是一个 π，于是半圆就是 π/2，90 度就是 π/4，一切都变得如此自然。不少物理公式都会变得更简单：狄拉克常数 ħ 将会直接等于 h/π，角频率公式将会直接变成 T = π/ω。一连串数学公式和定理也将会变得更加优雅：sin(x) 将等于 sin(x + π)，n! 将近似于 (πn) ^1/2 · (n/e) ⁿ ，而史上最美的数学公式其实本该是 e ^πi = 1。

基于上述种种原因，鲍勃•帕莱建议使用下面这个自创的符号来表示 2π。

 

别用 π 了，用 τ 吧！

很多学者都非常赞同鲍勃的观点：圆周率的定义完全是一个历史错误，它本应该为周长与半径之比。毕竟，圆的定义就是平面上到给定点的距离相等的所有点组成的图形，因而半径才是圆的核心要素。

但是考虑到历史原因，π 当然不能“刷”地一下通通变成 6.28……。为了逐渐将 π 引入正轨，另一位美国数学家麦克·哈特尔（Michael Hartl） 建立了网站 tauday.com ，呼吁人们用希腊字母 τ（发音：tau）来表示“正确的”圆周率 C/r = 6.2831853... 。τ 不但和 π 长得很像，还与turn谐音。而它本身又不代表别的常数，因此它似乎是新记号的最佳选择。哈特尔建议大家以后在写论文时，用一句“为方便起见，定义 τ = 2π ”开头，推广这一更为科学的圆周率记号。

“τ 宣言”可谓是图文并茂，内容有理有据，文字慷慨激昂，立即引来无数支持者。互联网上迅速掀起了一场轰轰烈烈的 τ 运动。新的圆周率τ被它的支持者们广为传播。他们甚至制作了印有 τ 的 T 恤，还在 6 月 28 日庆祝“真正的”圆周率日。

π 的反击战

可是，总得有人为 π 说几句话吧？事实上也的确如此。著名的 Geek 漫画网站 spikedmath.com 果断站了出来，建立了 thepimanifesto.com ，里边是洋洋洒洒数千字的 π 宣言。

π 宣言里说，最早把圆周率定义为周长与直径之比其实是有原因的。在衡量圆柱形物体的截面大小时，直径显然更方便测量。要想测量物体的半径，我们往往会先测量出直径，再取测量结果的一半。从这个角度来看，直径比半径更为基本。

用 τ 来表示圆心角和圆弧长的确更加自然，但换一个角度来看，π 也不输给 τ——在表示圆面积的时候，π 无疑占了上风。一个单位圆的面积是 π，半圆的面积则是 π/2，1/4 圆的面积则是 π/4。如果用 τ 来表示的话，结果将会变得一团糟。

另外，τ 的支持者们最重要的论点就是，很多数学和物理公式里都含有 2π，因此把 τ 当作圆周率才能真正体现数学之美，反映大自然的规律。不过，π 的宣言中则认为，这种说法也是站不住脚的。伽玛函数——阶乘的扩展——就有一个简洁漂亮的结论

而高斯积分则是

看来，τ 也会有失手的时候。

那么作为一名死理性派，你支持哪一方呢？